Question

3．过点A（1，0）的直线l₁与过点B（-1，4）的直线l₂平行，且它们之间的距离为$\sqrt{2}$．求直线l₁和l₂的方程．

Answer 1

分析 ①若l₁，l₂的斜率都存在时，设直线的斜率为k，则l₁的方程为kx-y+1=0．l₂的方程为kx-y+k+4=0．由点到直线的距离公式结合已知条件求出k，从而求出l₁和l₂的方程，若l₁、l₂的斜率不存在，求出l₁的方程和l₂的方程，由它们之间的距离判断是否满足条件．由此能求出满足条件的直线方程．

解答 解：①若l₁，l₂的斜率都存在时，
设直线的斜率为k，则l₁的方程y=kx+1，即kx-y+1=0．
l₂的方程y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0．
在直线l₁上取点A（1，0），
则点A到直线l₂的距离d=$\frac{|k+k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k²+8k+7=0，
解得k=-1或k=-7，
∴l₁：x+y-1=0，l₂：x+y-3=0，或l₁：7x+y-1=0，l₂：7x+y+3=0．
②若l₁、l₂的斜率不存在，
则l₁的方程为x=1，l₂的方程为x=-1，它们之间的距离为2．不满足条件．
∴满足条件的直线方程有以下两组：l₁：x+y-1=0，l₂：x+y-3=0，或l₁：7x+y-1=0，l₂：7x+y+3=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．