Question

13．已知函数f（x）=sin²x+acosx+a．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$且x∈[0，2π]，求函数f（x）的零点；
（2）求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，设cosx=t，则t∈[-1，1]，则f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，根据零点和方程的根的关系，求出即可，
（2）采用配方法，得到f（x）=-（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{4}$a²+a+1，分类讨论即可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$=-cos²x-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$，设cosx=t，则t∈[-1，1]，
则f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，
∴f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$=0，则t∈[-1，1]，
解得t=-1，或t=$\frac{1}{2}$，
∴cosx=-1，或cosx=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
∴函数f（x）的零点为$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
（2）f（x）=sin²x+acosx+a=-cos²x+acosx+a+1=-（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{4}$a²+a+1，
当-1≤$\frac{a}{2}$≤1时，即-2≤a≤2时，函数的最大值为$\frac{1}{4}$a²+a+1，最小值为$\frac{1}{4}$a²+a，
当a＜-2时，函数的最大值为0，最小值为2a，
当a＞2时，函数的最大值为2a，最小值为0．

点评 本题以三角函数为载体，考查了函数的零点与方程根的关系，以及函数的最值问题，属于中档题．