Question

13．已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ） 当a=-2时，解不等式f（x）≥16-|2x-1|；
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 当a=-2时，不等式为|x+2|+|2x-1|≥16，分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥16-|2x-1|；
（Ⅱ） 先求出a，f（x）=|x-1|，于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x-1|+|x+1|≥2，利用绝对值不等式，即可证明结论．

解答 （Ⅰ） 解：当a=-2时，不等式为|x+2|+|2x-1|≥16，
当x≤-2时，原不等式可化为-x-2-2x+1≥16，解之得x≤-$\frac{17}{3}$；
当-2＜x≤$\frac{1}{2}$时，原不等式可化为x+2-2x+1≥16，解之得x≤-13，不满足，舍去；
当x＞$\frac{1}{2}$时，原不等式可化为x+2+2x-1≥16，解之得x≥5；
不等式的解集为{x|x≤-$\frac{17}{3}$或x≥5}．（5分）
（Ⅱ）证明：f（x）≤1即|x-a|≤1，解得a-1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{a+1=2}\end{array}\right.$，解得a=1，
从而f（x）=|x-1|
于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，
即证|x-1|+|x+1|≥2，
因为|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2，
所以|x-1|+|x+1|≥2，证毕．（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．