Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知a=2c，且A-C=$\frac{π}{2}$．
（1）求sinC的值；
（2）当b=1时，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得sinA=2sinC，利用诱导公式可得sinA=cosC，联立，利用同角三角函数基本关系式即可解得sinC．
（2）由（1）结合余弦定理并利用大边对大角可得c＞$\frac{1}{2}$，解得c的值，利用正弦定理即可得解△ABC外接圆的半径．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵a=2c，∴sinA=2sinC①，----------（1分）
又∵A-C=$\frac{π}{2}$，∴sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC②，----------（3分）
联立①②，即可求得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．-----------（5分）
（2）由（1）结合余弦定理可知，c²=a²+b²-2abcosC，
可得：c²=4c²+1-2×2c×1×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得：c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$或c=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，---------（7分）
∵由已知易得A＞$\frac{π}{2}$，
∴a＞b，可得：2c＞1，即：c＞$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，---------（8分）
∵2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{3}$，
∴R=$\frac{5}{6}$．----------（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．