Question

7．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，
（Ⅰ）求证：FC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若FB=FE，⊙O的半径为$\sqrt{2}$，求FC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆的切线的判定方法，证明OC⊥FC，即可证明：FC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若FB=FE，⊙O的半径为$\sqrt{2}$，利用切割线定理、勾股定理求FC．

解答 证明：（Ⅰ）连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF，
又OC=OB
∴∠OBC=∠OCB，
从而∠FCB+∠BCO=∠FBC+∠CBO=90°，
即：OC⊥FC，FC是⊙O的切线．
解：（Ⅱ）延长直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，
又∠FCE=∠GFB，∠FEC=∠AFB，
∴∠GFB=∠AFB
从而△AGF是等腰三角形，$GB=AB=2\sqrt{2}$．
由切割线定理得：${（FC+FG）^2}=GB•GA=2\sqrt{2}×4\sqrt{2}=16$．…①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：FG²=FC²+8…②
由①、②得：FC=1．

点评 本题考查圆的切线的判定，切割线定理，平行线的性质定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．