Question

2．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O点E．
（I）过点E做圆O的切线DE，交AC于点D，证明：点D是AC的中点；
（Ⅱ）若OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，求∠ACB大小．

Answer 1

分析 （I）连接OE，OD，则△OED≌△OAD，证明OD∥BC，利用O为AB的中点，可得点D是AC的中点；
（Ⅱ）连接AE，由射影定理有AE²=CE•BE，求出BE，AE，可得BC，即可求∠ACB大小．

解答 证明：（I）连接OE，OD，则△OED≌△OAD，
∴∠AOD=∠EOD．
∵∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵O为AB的中点，
∴点D是AC的中点；
解：（Ⅱ）连接AE，设CE=1，AE=x．则AB=2OA=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2-{x}^{2}}$．
Rt△ABC中，由射影定理有AE²=CE•BE，
∴x²=$\sqrt{2-{x}^{2}}$．
∴x=1，
∴BC=BE+CE=2，
Rt△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACB=45°．

点评 本题考查三角形全等的判定与性质，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．