Question

13．本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次．已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率．
（Ⅱ）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1，利用对立事件概率计算公式求解即可．
（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=8）=（1-$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+2×\frac{5}{16}+4×\frac{5}{16}+6×\frac{3}{16}$+8×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．