Question

9．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，其对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，则当f（sinx）＞f（cosx）时，x的取值范围（　　）

• A． （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z
• B． （kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z
• C． （2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z
• D． （kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z

Answer 1

分析 根据偶函数的性质得f（sinx）＞f（cosx）?f（|sinx|）＞f（|cosx|），由f（x）对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，知f（x）在（-∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，据单调性即可去掉不等式中的符号“f”．转化后解不等式即可求得所求的范围．

解答 解：因为f（x）为偶函数，
所以f（sinx）＞f（cosx）?f（|sinx|）＞f（|cosx|）
又由f（x）对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，知f（x）在（-∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以|sinx|＞|cosx|，
所以cos2x＜0，
解得x∈（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性及其应用，属中档题，解决本题的关键是根据条件判断出函数的单调性，再由奇偶性把问题转为到区间[0，+∞）上解决．