Question

4．已知在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，SD⊥平面ABCD，P为SB的中点，Q为BD上一动点．AD=2，SD=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求证：AC⊥PQ；
（Ⅱ）当PQ∥平面SAC时，求四棱锥P-AQCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥平面SBD，即可证明：AC⊥PQ；
（Ⅱ）当PQ∥平面SAC时，设AC∩BD=O，取BO的中点Q，即可求四棱锥P-AQCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AC，
∵BD∩SD=D，
∴AC⊥平面SBD，
∵PQ?平面SBD，
∴AC⊥PQ；
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取BO的中点Q，
∴PQ∥SO，
∵SO?平面SAC，PQ?平面SAC，
∴PQ∥平面SAC，
连接PO，则PO∥SD，且PO=$\frac{1}{2}$SD=1，PO⊥平面ABCD，
∵S_{四边形AQCD}=$\frac{3}{4}$S_菱形ABCD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴V_{四棱锥P-AQCD}=$\frac{1}{3}PO•$S_{四边形AQCD}═$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P-AQCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．