题目内容
17．设数列{$\frac{1}{4{n}^{2}}$}的前n项和为Tn，求证：$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．分析 由$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，能证明Tn＞$\frac{n}{4n+4}$，由$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，能证明Tn＜$\frac{1}{2}$．由此能证明$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．
解答 证明：∵$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴Tn＞$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$，
又∵$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴Tn＜$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查关于数列的前n项和的不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案| A． | $\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$ | B． | $\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{0}$=$\overrightarrow{a}$ | C． | $\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$ | D． | |$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$| |
| A． | （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z | B． | （kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z | ||
| C． | （2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z | D． | （kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z |
如图，矩形ABCD的边长为6和4．□EFGH的顶点在矩形的边上，并且AH=CF=2，AE=CG=3．点P在FH上，并且S四边形AEPH=5，则S四边形PFCG=8．