Question

已知函数f（x）=x²-alnx的曲线在点（1，1）处的切线方程为y=1，g（x）=x²-x-2

x

+3b．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求证：e^x≥ex；
（3）求方程f（x）=g（x）的解的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点与方程根的关系,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=0求得实数a的值，则f（x）的表达式可求；
（2）构造辅助函数F（x）=e^x-ex，利用导数求得函数在实数集内的最小值，则不等式得到证明；
（3）化方程f（x）=g（x）为x+2

x

-2lnx-3b=0，构造辅助函数h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，由导数求其最小值，然后对b分类得到方程f（x）=g（x）的解的个数．

解答： （1）解：由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=2x-

a

x

，
∵曲线在点（1，1）处的切线方程为y=1，
∴切线斜率为0．
∴f′（1）=2-a=0，
∴a=2．
∴f（x）=x²-2lnx；
（2）证明：设F（x）=e^x-ex，
则F′（x）=e^x-e，
当x＞1时，F′（x）＞0，
∴x∈（1，+∞）时，F（x）为增函数；
当x＜1时，F′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1）时，F（x）为减函数；
∴x=1时，F（x）_min=F（1）=0，
∴e^x≥ex；
（3）解：由（1）可知，方程f（x）=g（x），即x+2

x

-2lnx-3b=0．
设h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，
则h′(x)=1+

1

x

-

2

x

．
令h′（x）＞0，并由x＞0，解得x＞1；
令h′（x）＜0，并由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	递减	极小值0	递增

知h（x）在x=1处取最小值3-3b，
（ⅰ）当b=1时，h（1）=0，在x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解，
即当b=1方程f（x）=g（x）有唯一解；
（ⅱ）当b＜1时，h（1）＞0，在x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上无实数解，
即当b＜1方程f（x）=g（x）的解的个数为零．
（ⅲ）当b＞1时，h（1）＜0，
又h(e-3b)=e-3b+2

e-3b

+6b-3b＞0，
故函数h（x）在区间（e^-3b，1）上有一个零点；
由（2）知h（e^10b）=e10b+2

e10b

-2lne10b-3b≥10eb+2

e10b

-23b＞0，
故函数h（x）在区间（1，e^10b）上有一个零点，
∴b＞1时，h（x）=0在（0，+∞）上有两个实数解，即方程f（x）=g（x）的解的个数为2．
综上，方程f（x）=g（x）的解的个数为：
b=1时1个，b＜1时0个，b＞1时2个．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的逻辑思维能力，是高考试卷中的压轴题．