Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]时的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设出函数的表达式，由题意得方程组解出即可；（2）根据二次函数的性质，结合函数的单调性，从而求出函数的值域．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，则c=0，

由题意得：

f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b f(x)+x+1=ax2+(b+1)x+1

，
∴

2a+b=b+1 a+b=1

，解得：

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x；
（2）f（x）=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

，x∈[-1，2]，最小值为f（-

1

2

）=-

1

8

，
最大值为f（2）=3，
∴值域是[-

1

8

，3]．

点评：本题考查了二次函数的求解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道基础题．