Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．

解答 证明：（1）连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又AD⊥CD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，
∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，
∴AE⊥PD．
又CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PDC，
又AE?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面AEC．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，属于基础题．