Question

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：

x2

12

-

y2

4

=1的右焦点为F，一条过原点0且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△FAB的面积为8

3

，则直线的斜率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为y=kx，代入

x2

12

-

y2

4

=1可得x²-3k²x²=12，求出A，B纵坐标差的绝对值，根据△FAB的面积为8

3

，即可求出直线的斜率．

解答： 解：双曲线C：

x2

12

-

y2

4

=1的右焦点为F（4，0）．
设直线l的方程为y=kx，代入

x2

12

-

y2

4

=1可得x²-3k²x²=12，
∴x=±

12 1-3k2

，
∴A，B纵坐标差的绝对值为2k

12 1-3k2

，
∵△FAB的面积为8

3

，
∴

1

2

•4•2k

12 1-3k2

=8

3

，
∴k=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．