Question

1．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数为y=$\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{3}{80}$x+8（0＜x＜120）
（1）当x=64千米/小时时，行驶1000千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

Answer 1

分析 （1）由题意可得当x=64千米/小时，要行驶1000千米需要$\frac{1000}{64}$小时，代入函数y的解析式，即可得到所求值；
（2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，代入函数y的式子，可得$a=\frac{22.5}{{\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}}}$．
令$h（x）=\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}$，求出导数和单调区间，可得h（x）的最小值，进而得到a的最大值．

解答 解：（1）当x=64千米/小时，要行驶1000千米需要$\frac{1000}{64}$小时，
要耗油$（\frac{1}{128000}×{64^3}-\frac{3}{80}×64+8）×\frac{1000}{64}=119.5$升；
（2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，
由题意得（$\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{3}{80}$x+8）•$\frac{a}{x}$=22.5，
可得$a=\frac{22.5}{{\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}}}$．
令$h（x）=\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}$，
$h'（x）=\frac{1}{64000}x+\frac{8}{x^2}=\frac{{{x^3}-{{80}^3}}}{{64000{x^3}}}$，
令h'（x）=0⇒x=80，
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数；
当x∈（80，20）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数．
即有当x=80时，h（x）取最小值，此时a取最大值200．
故若油箱有22.5升油，则最多可行驶200千米．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求出函数式和求得导数是解题的关键，属于中档题．