Question

（1+x+x²）（1-x）¹⁰的展开式中，x⁵的系数是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：根据题意，利用（1-x）¹⁰的展开式中的通项T_r+1=

C

r 10

x^10-r•（-1）^r，通过对r取值即可求得（x²+x+1）（1-x）¹⁰的展开式中，含x⁵项的系数．

解答： 解：（x²+x+1）（1-x）¹⁰，
设（1-x）¹⁰的展开式中的通项T_r+1=T_r+1=

C

r 10

x^r•（-1）^r，
则当r=3时，T₄=-

C

3 10

x³，
当r=4时，T₅=

C

4 10

x4，
当r=5时，T₆=-

C

5 10

x5，
（1+x+x²）（1-x）¹⁰的展开式中，含x⁵的项是-

C

5 10

x5+x

C

4 10

x4-x²

C

3 10

x3=162x⁵．
∴（x²+x+1）（x-1）⁵的展开式中，含x⁵的项的系数是162．
故答案为：162．

点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用．