Question

某商场预计2013年1月份起前个月，顾客对某种商品的需求总量（单位：件）与的关系近似地满足：.该商品第月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是：

（1）写出今年第月的需求量件与的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2013年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

Answer 1

（1）
（2）商场2011年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元

本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用，主要是分段函数的运用。
（1）根据前x个月的总量，作差法得到第x个月的销售商品的需求量，然后得到关系式。
（2）根据题意设出变量，并能利用变量得到关于利润的函数关系式，借助于分段函数的性质，逐一求解最值，再比较大小得到结论。
解：（1）当 …………1分
当,且时，
  …………4分
验证符合(x∈N^*，且). …………5分
（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为:
g(x)=
=
…………8分
当时,
令,解得(舍去).      …………9分
当时，g′(x) ＞0，当时，g′(x) ＜0，
∴当x=5时，g(x)_max=g(5)=3125（元）.　 …………11分
当时,是减函数,
当时,（元） …………13分
综上，商场2011年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元.   …………14分