Question

3．已知函数f（x），对?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”，已知函数f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{6}{7}$，$\frac{12}{13}$）
• B． [-2，$\frac{12}{13}$]
• C． [0，$\frac{12}{13}$]
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 若f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函数，则$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{min}＞0}\\{2f（x）_{min}＞f（x）{\;}_{max}}\end{array}\right.$，分类讨论，即可求出m的取值范围．

解答 解：若f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函数，则$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{min}＞0}\\{2f（x）_{min}＞f（x）{\;}_{max}}\end{array}\right.$，
∵f（x）=mcos²x+msinx+3=-m（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$m+3，
当m＞0时，f（x）_min=f（-1）=-m+3，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$m+3，则$\left\{\begin{array}{l}{-m+3＞0}\\{\frac{5}{4}m+3＜2（-m+3）}\end{array}\right.$，解得0$＜m＜\frac{12}{13}$，
当m=0时，f（a）=f（b）=f（c）=3，符合题意，
当m＜0时，f（x）_maxf（-1）=-m+3，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$m+3，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}m+3＞0}\\{2（\frac{5}{4}m+3）＞-m+3}\end{array}\right.$，解得-$\frac{6}{7}$＜m＜0，
综上所述m的取值范围为（-$\frac{6}{7}$，$\frac{12}{13}$），
故选：A．

点评 本题考查函数的最值和分类讨论思想，属于中档题；解决本题的关键是根据三角形的三边关系得到“三角形函数”满足的条件[-1，1]，这也是本题的难点；对于“a”的情况容易忽视．