Question

2．广播电台为了了解某地区的听众对某个戏曲节目的收听情况，随机抽取了100名听众进行调查，下面是根据调查结果绘制的听众日均收听该节目的频率分布直方图，将日均收听该节目时间不低于40分钟的听众成为“戏迷”
（Ⅰ）根据已知条件完成2×2列联表，并判断“戏迷”与性别是否有关？

	“戏迷”	非戏迷	总计
男
女	10		55
总计

附：K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率当作概率．现在从该地区大量的听众中，采用随机抽样的方法每次抽取1名听众，抽取3次，记被抽取的3名听众中“戏迷”的人数为X，若每次抽取的结果相互独立，求X的分布列，数学期望及方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图求得“戏迷”有25人，完成2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K²≈3.030＜3.841，故没有理由认为“戏迷”与性别有关；
（Ⅱ）由题意可知X～B（3，$\frac{1}{4}$），根据二项分布求得其分布列，数学期望及方差．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“戏迷”有（0.02+0.005）×10×100=25人，
“戏迷”有25人，-----（1分）
2×2列联表如下：

	“戏迷”	非戏迷	总计
男	15	30	45
女	10	45	55
总计	25	75	100

将2×2列联表中的数据代入公式：
K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{{n}_{1}+n}_{2}+{n}_{3}+{n}_{4}}$，
=$\frac{100×（30×10-45÷15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030＜3.841，
故没有理由认为“戏迷”与性别有关．-------------（6分）
（Ⅱ）由题可知抽到“戏迷”的概率为0.25，
由题意可知X～B（3，$\frac{1}{4}$），

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴数学期望E（X）=np=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
方差D（X）=np（1-p）=3×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}$．--------------（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查二项分布的计算公式、分布列和数学期望及方差的计算公式，考查计算能力，属于中档题．