Question

设a为实数，函数f（x）=x|x²-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x³+x，故f′（x）=-3x²+1=-3（x-）（），令f′（x）=0，得，，由此能求出函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＜0时，f（x）=x³-ax，由f′（x）=3x²-a＞0恒成立，知f（x）的增区间为（-∞，+∞）．当a＞0时，或时，f′（x）=3x²-a=3（x+）（x-），-，，f（x）的单调减区间为及．当-时，f′（x）=-3x²+a=-3，f（x）的单调增区间为（），f（x）的单调减区间为，．由此能求出函数f（x）的单调区间．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x|x²-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x³+x，
则f′（x）=-3x²+1=-3（x-）（），
令f′（x）=0，得，，
∵[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-）=-（-）³-=，
f（）=-=，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为，最大值为．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x³-ax，
∵f′（x）=3x²-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当或时，f（x）=x³-ax，
因为f′（x）=3x²-a=3（x+）（x-），-，，
所以，当或时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为及．
②当-时，f（x）=-x³+ax，
f′（x）=-3x²+a=-3，
令f′（x）=0，得，x=-，
列表，得

x	（-，-）	-	（）		（）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∴f（x）的单调增区间为（），f（x）的单调减区间为，．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为及，
f（x）的单调减区间为．
点评：本题考查闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类讨论时因分类不清容易出错．解题时要认真审题，仔细解答．