Question

设a为实数，函数f（x）=x²-|x-a|+1，x∈R．
（1）若f（x）是偶函数，试求a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是偶函数，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得a的值；
（2）由（1）知a的值，从而写出f（x）的表达式，再将|x|看成整体，利用二次函数的性质求出f（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²-|-x-a|+1=x²-|x-a|+1，
化简整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（2）由（1）知a=0，∴f（x）=x²-|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，当x=±

1

2

时，f(x)=

3

4

，
∴当x=±

1

2

时，f（x）的最小值为

3

4

．

点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．