题目内容

设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
(1)求f(a+1);
(2)若a=3,用分段函数的形式表示f(x),并求出f(x)的最小值;
(3)求f(x)的最小值g(a).
分析:(1)直接代入计算即可;
(2)由a=3,可得f(x)=2x2+(x-3)|x-3|=
3x2-6x+9,x≥3
x2+6x-9,x<3
,利用二次函数的单调性即可得出;
(3)f(x)=
3x2-2ax+a2,x≥a
x2+2ax-a2,x<a
.分类讨论:当a>0时,x≥a时,f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
;x<a时,f(x)=(x+a)2-2a2.利用二次函数的单调性即可得出.
当a<0时,x≥a时,f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
;x<a时,f(x)=(x+a)2-2a2≥f(a)=2a2.利用二次函数的单调性即可得出.当a=0时,f(x)=3x2≥0.
解答:解:(1)f(a+1)=2(a+1)2+(a+1-a)|a+1-a|=2(a+1)2+1;
(2)若a=3,则f(x)=2x2+(x-3)|x-3|=
3x2-6x+9,x≥3
x2+6x-9,x<3

①当x≥3时,f(x)=3(x-1)2+6,函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∴x=3时,f(x)取得最小值,f(3)=18.
②当x<3时,f(x)=(x+3)2-18,当x=-3时,f(x)取得最小值,f(-3)=-18.
(3)f(x)=
3x2-2ax+a2,x≥a
x2+2ax-a2,x<a

①当a>0时,x≥a时,f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
≥f(a)=2a2
x<a时,f(x)=(x+a)2-2a2≥f(-a)=-2a2
综上可得:a>0时,f(x)min=-2a2
②当a<0时,x≥a时,f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
≥f(
a
3
)=
2a2
3

x<a时,f(x)=(x+a)2-2a2≥f(a)=2a2
综上可得:a<0时,f(x)min=
2a2
3

③当a=0时,f(x)=3x2≥0,此时最小值为0.
综上可得:当a≥0时,f(x)min=-2a2
        当a<0时,f(x)min=
2a2
3
点评:本题考查了含绝对值的函数的最小值、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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