Question

7．我们把形如y=$\frac{b}{|x|-a}$（a＞0，b＞0）的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当a=b=1时，“莫言圆”的面积的最小值是（　　）

• A． 2π
• B． $\frac{5}{2}π$
• C． eπ
• D． 3π

Answer 1

分析 根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．

解答 解：当a=1且b=1时，函数“莫言函数”为y=$\frac{1}{|x|-1}$
图象与y轴交于（0，-1）点，则“莫言点”坐标为（0，1）．
令“莫言圆”的标准方程为x²+（y-1）²=r²，
令“莫言圆”与函数y=$\frac{1}{|x|-1}$图象的左右两支相切，
则可得切点坐标为（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）和（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
此时“莫言圆”的半径r=$\sqrt{3}$；
令“莫言圆”与函数$\frac{1}{|x|-1}$图象的下支相切，
此时切点坐标为（0，-1）．
此时“莫言圆”的半径r=2；
故所有的“莫言圆”中，面积的最小值为3π．
故选：D．

点评 本题给出“莫言函数”、“莫言点”、“莫言圆”的定义，求圆的最小面积．着重考查了函数的图象、圆的方程、两点的距离公式与圆面积求法等知识，属于中档题．