题目内容
10．下列结论中，正确的有（ ）①不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根；
②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为$\frac{π}{6}$；
③函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函数；
④在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．
| A． | ①④ | B． | ①③ | C． | ①② | D． | ②④ |
分析 ①，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根；
②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$则角C的最大值为$\frac{π}{3}$；
③，函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$的定义域不同，不是同一函数；
④，设A（-a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2-m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．
解答 解：对于①，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根，正确；
对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$，则角C的最大值为$\frac{π}{3}$，故错；
对于③，函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$的定义域不同，不是同一函数，故错；
对于④，设A（-a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2-m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（定值），故正确．
故选：A．
点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．
为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．| A． | ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$ | B． | ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$ | ||
| C． | ${（{x-3}）^2}+{（{y-2\sqrt{3}}）^2}=16$ | D． | ${（{x-3}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=16$ |
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |