Question

2．写出函数$y=\sqrt{3}{sin^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{cos^2}x$的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．

Answer 1

分析 先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．

解答 解：y=-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx=-$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数的值域：[-2，2]；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，
∴函数的递增区间：$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$，k∈Z；
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴函数的对称轴：x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴函数的对称中心：（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z；
作图如下：
（1）列表：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

作出图象如下：

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．