Question

【题目】已知，．

当时，求的值；

当时，是否存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列？并说明理由；

当时，求的值用m表示．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

在的二项式定理中，先令得所有项系数和，再令得常数项，然后相减即得．

将变成后，利用二项展开式的通项公式可得，再假设存在正整数n，r满足题意，利用等差数列的性质得，化简整理，解方程即可判断存在性；

求得，2，3的代数式的值，即可得到所求结论．

解：，

，

当时，令和，可得：

，，

故；

当时，假设存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列，

由二项式定理可知，，若、、成等差数列，则，

即，即，

化简得，

即为，

若、、成等差数列，同理可得，

即有，

即为，

化为，

可得，方程无解，

则不存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列；

，

当时，；

当时，；

当时，；

可得时，．