题目内容
【题目】如图,已知椭圆的离心率是
,一个顶点是
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
是椭圆
上异于点
的任意两点,且
.试问:直线
是否恒过一定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)直线
恒过定点
【解析】
试题分析:(Ⅰ)设椭圆C的半焦距为c.求出b利用离心率求出a,即可求解椭圆C的方程;(Ⅱ)证法一:直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+m.将直线PQ的方程代入消去y,设 P
,Q
,利用韦达定理,通过BP⊥BQ,化简求出
,求出m,即可得到直线PQ恒过的定点.证法二:直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y=kx+1,将直线BP的方程代入
,消去y,解得x,设 P
,转化求出P的坐标,求出Q坐标,求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标
试题解析:(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为
.依题意,得
,
且,
解得.
所以,椭圆的方程是
.
(Ⅱ)证法一:易知,直线的斜率存在,设其方程为
.
将直线的方程代入
,
消去,整理得
.
设,
,
则,
.(1)
因为,且直线
的斜率均存在,
所以, 整理得
.(2)
因为,
,
所以,
.(3)
将(3)代入(2),整理得
.(4)
将(1)代入(4),整理得.
解得,或
(舍去).
所以,直线恒过定点
.
证法二:直线的斜率均存在,设直线
的方程为
.
将直线的方程代入
,消去
,得
解得,或
.
设,所以
,
,
所以.
以替换点
坐标中的
,可得
.
从而,直线的方程是
.
依题意,若直线过定点,则定点必定在
轴上.
在上述方程中,令,解得
.
所以,直线恒过定点
.
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