Question

6．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²-2n+1，
（1）证明：a_n＞2n-1（n≥3）；
（2）证明：$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）求出前几项，由数学归纳法证明，注意证明n=k+1时，运用假设，同时运用分析法，即可得证；
（2）由题意可得a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$＞$\sqrt{2n-1}$，写出几个式子，再由放缩法，即可得证．

解答 证明：（1）a₁=2，a_n+1=a_n²-2n+1，
可得a₂=a₁²-2+1=4-2+1=3，
a₃=a₂²-4+1=9-4+1=6，
当n=3时，a₃=6，2n-1=5，即有不等式成立；
假设n=k时，a_k＞2k-1（k≥3），
当n=k+1时，a_k+1=a_k²-2k+1＞（2k-1）²-（2k-1）
=4k²-6k+2，
由4k²-6k+2-（2k+1）=4k²-8k+1，当k≥3时，
即有4k²-8k+1≥4×9-8×3+1＞0，
则n=k+1时，a_k+1＞2（k+1）-1成立．
综上可得，a_n＞2n-1（n≥3）；
（2）a_n+1=a_n²-2n+1，
可得a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$＞$\sqrt{2n-1}$，
2=a₁=$\sqrt{{a}_{2}+1}$，a₂=$\sqrt{{a}_{3}+3}$，a₃=$\sqrt{{a}_{4}+5}$，
…，
即有2=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+{a}_{4}}}}$=…=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$，
由于a_n+1＞$\sqrt{2（n+1）-1}$=$\sqrt{2n+1}$，
即有$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$＞$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$，
则$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$＜2成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用数学归纳法和放缩法证明，考查推理能力，属于中档题．