Question

11．给出下列命题：
①${log_{0.5}}3＜{2^{\frac{1}{3}}}＜{（\frac{1}{3}）^{0.2}}$； 
②函数f（x）=lgx-sinx有3个零点；
③函数f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{x}{12}$的图象以原点为对称中心；
④已知a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有m＞n，x＜y．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据对数函数指数函数的性质，分别判断三个数值的大小进行比较即可．
②利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的相交问题进行求解即可．
③利用函数奇偶性的性质，判断函数f（x）是奇函数即可．
④根据等比数列和等差数列的性质和公式进行证明．

解答 解：①∵log_0.53＜0，2${\;}^{\frac{1}{3}}$＞1，0＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜1，
∴log_0.53＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜2${\;}^{\frac{1}{3}}$；故①错误，
②由f（x）=lgx-sinx=0得lgx=sinx，
作出两个函数y=lgx和y=sinx的图象如图：
由图象知两个函数有3个交点，即函数f（x）有3个零点；故②正确，
③由$\frac{x+1}{x-1}$＞0得x＞1或x＜-1，
则f（-x）+f（x）=ln$\frac{-x+1}{-x-1}$-$\frac{x}{12}$ln$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{x}{12}$=ln（$\frac{-x+1}{-x-1}$•$\frac{x+1}{x-1}$）=ln1=0，
则f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，则函数f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{x}{12}$的图象以原点为对称中心，正确；故③正确，
④∵a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，且 a、m、b、x成等差数列，∴m=$\frac{a+b}{2}$．
又  a、n、b、y成等比数列，∴n=$\sqrt{ab}$，由基本不等式可得 m＞n．
又 同理可得 b=$\frac{m+x}{2}$=$\sqrt{ny}$≥$\sqrt{mx}$，∴y＞x．
综上，m＞n，x＜y，故④正确，
综上正确的是②③④，共3个，
故选：C．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的零点，对称性，函数值的大小比较以及等比数列和等差数列的应用，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．