Question

3．（1）已知tanα=2，求cos⁴α-2sinαcosα-sin⁴α的值．
（2）若函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x，x∈[0，$\frac{π}{2}$），求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，化简要求的式子为 $\frac{1{-tan}^{2}α-2tanα}{{tan}^{2}α+1}$，从而求得它的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，化简函数的解析式为f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．

解答 解：（1）已知tanα=2，故 cos⁴α-2sinαcosα-sin⁴α=（cos²α-sin²α）•（cos²α+sin²α）-2sinαcosα
=cos²α-sin²α-2sinαcosα=$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α-2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{1{-tan}^{2}α-2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{1-4-2}{4+1}$=-1．
（2）∵函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x-sin²x）•（cos²x+sin²x）-2sinxcosx
=cos²x-sin²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），故当2x+$\frac{π}{4}$=π时，函数f（x）取得最小值为-$\sqrt{2}$，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值为 $\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，化简函数f（x）的解析式为 $\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），是解题的关键，属于中档题．