Question

定义在R上的函数f（x）满足：（x-1）f′（x）≤0（f′（x）为f（x）的导函数）且y=f（x+1）为偶函数，若向量

a

=（log

1

2

m，-1），

b

=（1，-2），则满足不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）的实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由（x-1）f′（x）≤0先分析函数的单调性，然后结合y=f（x+1）为偶函数研究函数f（x）的对称性．最后利用函数的单调性将结果化简后解不等式即可．

解答： 解：（x-1）f′（x）≤0得当x＞1时f′（x）≤0；当x＜1时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）上递减．
又且y=f（x+1）为偶函数，所以f（x）的图象关于x=1对称．且当自变量取值离x=1越近时，函数值越大．
由

a

=(log

1

2

m，-1)，

b

=(1，-2)．所以

a

•

b

=log

1

2

m+2．又因为f（

a

•

b

）＜f（-1），
所以|log

1

2

m+2-1|＞|-1-1|，
即log

1

2

m＜-3或log

1

2

m＞1．
解得0＜m＜

1

2

或m＞8．
故答案为：(0，

1

2

)∪(8，+∞)．

点评：本题综合考查了函数的单调性、对称性以及数量积的计算等基础知识，要注意分析函数f（x）的性质，将给的条件化归为f（x）的性质，然后计算求解．