Question

2．一台风中心于某天中午12：00在港口O的正南方向，距该港口200$\sqrt{2}$千米的海面A处形成（如图），并以每小时a千米的速度向北偏东45°方向上沿直线匀速运动，距台风中心100$\sqrt{5}$千米以内的范围将受到台风的影响，请建立适当的坐标系．
（1）当台风中心离港口O距离最近时，求该台风所影响区域的边界曲线方程；
（2）若港口O于当天下午17：00开始受到此台风的影响，
（i）求a的值；
（ii）求港口O受该台风影响持续时间段的长．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，正东方向为x正半轴，如图建立直角坐标系，求得A坐标，过O作台风中线运动的直线L的垂线，垂足为H，求得H坐标，即可台风所影响区域的边界曲线方程；
（2）依题意知台风形成后5小时开始影响港口，记以O为圆心，$100\sqrt{5}$为半径的圆与L相交于M，N两点（M离A近），由勾股定理求得HM和AM，即5a=100，即可求得a的中，由MN=2HM=200，t=$\frac{MN}{v}$，即可求得该台风影响持续时间段的长．

解答 解：（1）以O为原点，正东方向为x正半轴，如图建立直角坐标系，则$A（0，-200\sqrt{2}）$，
过O作台风中线运动的直线L的垂线，垂足为H，
依题意得：OH=200，OH：y=-x，AH：$y=-200\sqrt{2}$
联立求得交点$H（100\sqrt{2}，-100\sqrt{2}）$，
当台风中心离港口O距离最近时，该台风影响区域的边界曲线方程为圆：${（x-100\sqrt{2}）^2}+{（y+100\sqrt{2}）^2}=50000$；
（2）（i）依题意知台风形成后5小时开始影响港口，记以O为圆心，$100\sqrt{5}$为半径的圆与L相交于M，N两点（M离A近），
∵$OH=200，OM=100\sqrt{5}$，
∴HM=100，又AH=200，
∴AM=100，于是5a=100，得a=20，
（ii）又MN=2HM=200，
∴t=$\frac{200}{20}=10$，
所以持续时间段的长为10小时．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．