Question

7．设向量$\overrightarrow a$=（2，sinθ），$\overrightarrow b$=（1，cosθ），θ为锐角．
（1 ）若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{13}{6}$，求sinθ+cosθ的值；
（2 ）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tan（θ-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过向量的数量积，以及三角函数的平方关系式，结合角的范围，求解即可．
（2）利用向量共线的充要条件列出方程，求出正切函数值，化简所求的表达式，求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2+sinθcosθ=\frac{13}{6}$，
∴$sinθcosθ=\frac{1}{6}$．  …（2分）
∴${（sinθ+cosθ）^2}=1+2sinθcosθ=\frac{4}{3}$
又∵θ为锐角，∴$sinθ+cosθ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$． …（5分）
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴sinθ=2cosθ．  …（7分）
$\begin{array}{l}∴tanθ=2\\∵tan（θ-\frac{π}{3}）=\frac{{tanθ-\sqrt{3}}}{{1+tanθ•\sqrt{3}}}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{1+2×\sqrt{3}}}=\frac{{5\sqrt{3}-8}}{11}\end{array}$…（10分）．

点评 本题考查向量平行垂直的坐标表示，同角三角函数基本关系式，三角恒等变换公式的应用，考查计算能力．