Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期为

π

2

．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，由周期公式可求得ω=2，令 2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）先求得-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，从而可得sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵函数f（x）的最小正周期为

π

2

．即有

2π

2ω

=

π

2

，可得ω=2，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

∴令 2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

，
∴函数f（x）的单调递增区间是[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）；
（2）x∈[0，

π

3

]时，-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（4x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]，
即函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的取值范围是[0，

3

2

]．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．