Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有（f（a）+f（b））÷（a+b）＞0成立．判断d（x）在[-1，1]上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：由题意先判断，再令a=x₁，b=-x₂，a+b=x₁-x₂＜0；从而可得（f（x₁）+f（-x₂））÷（x₁-x₂）＞0，再由f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数可得（f（x₁）-f（x₂））÷（x₁-x₂）＞0，从而证明．

解答： 解：f（x）在[-1，1]上单调递增，证明如下，
任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
令a=x₁，b=-x₂，a+b=x₁-x₂＜0；
则（f（x₁）+f（-x₂））÷（x₁-x₂）＞0，
又∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂）；
∴（f（x₁）-f（x₂））÷（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
故f（x）在[-1，1]上单调递增．

点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．