Question

已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分条件，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题先根据函数f（x）的奇偶性和单调性将不等式f（2x-1）≥f（x）进行化简，再利用命题间的充分条件关系，得到两不等式的解集关系，比较区间端点，得到相关不等式，解不等式，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）=f（|x|）．
∵函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴不等式f（2x-1）≥f（x）可转化为：
f（|2x-1|）≥f（|x|），
∴|2x-1|≤|x|，
∴（2x-1）²-x²≤0，
∴

1

3

≤x≤1．
∵f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分条件，
∴

1

3

≤x≤1是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分条件，
∴当

1

3

≤x≤1时，x²-2x=（x-1）²-1∈[-1，-

5

9

]，
∴2m+

1

m

≤-1，m≥-

5

9

，
∴m≥-

5

9

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及不等式解法，本题难度不大，属于基础题．