Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

，x∈R．
（1）求函数f（x）的周期和最小值及取得最小值时的x的集合；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（3）在锐角△ABC中，若f（A）=1，

AB

•

AC

=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数式，再由周期公式和正弦函数的值域即可得到；
（2）运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求值域；
（3）运用向量的数量积的定义，求得bc，再由三角形的面积公式，即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

3

）．
则f（x）的周期为

2π

2

=π，最小值为-2，当2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，
即有x=kπ-

5π

12

，即取得最小值时的x的集合{x|x=kπ-

5π

12

，k∈Z}；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，则f（x）∈[-

3

，2]．
则f（x）的值域为[-

3

，2]．
（3）在锐角△ABC中，若f（A）=1，
则2sin（2A+

π

3

）=1，则有2A+

π

3

=

5π

6

，即A=

π

4

，
由于

AB

•

AC

=

2

，则cbcos

π

4

=

2

，即有bc=2，
则△ABC的面积为：

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的周期和最值，考查向量的数量积的定义以及面积公式的运用，属于中档题．