Question

16．给出下列叙述：
①若关于x的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＜0的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞），则a=-2；
②若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，则x+y的最小值为16；
③已知a，b，c，d为实数，且c＞d，若a＞b，则a-c＞b-d；
④函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足方程mx+ny+1=0，其中mn＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为4．
其中所有正确叙述的序号是①②．

Answer 1

分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①由题意，-$\frac{1}{2}$a-1=0，∴a=-2，正确；
②若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，则x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥10+6=16，∴x+y的最小值为16，正确；
③已知a，b，c，d为实数，且c＞d，因为同向不等式不能相减，故若a＞b，则a-c＞b-d，不正确；
④∵x=-2时，y=log₂1-1=-1，
∴函数y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+4=8，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为8，不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．