Question

8．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，lgc-lga=-lgsinB=lg$\sqrt{2}$，且∠B为锐角，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 利用对数的运算性质得出B，及a，c的关系，代入余弦定理得出a，b的关系，求出A，B，C得出结论．

解答 解：∵lgc-lga=-lgsinB=lg$\sqrt{2}$，
∴lg$\frac{c}{a}$=lg$\frac{1}{sinB}$=lg$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}a$．
∵∠B为锐角，∴B=45°．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+2{a}^{2}-{b}^{2}}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=b．
∴A=B=45°，
∴C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评 本题考查了对数的运算性质，余弦定理，属于中档题．