Question

定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|，若对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|，由f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，则|x-m|=|x+m|对于x∈R都成立，可得m=0．因此f（x）=x|x|．由于对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．可得（1+a）²-1≤2，a＞0．解出即可．

解答： 解：∵定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|，
∴f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，则|x-m|=|x+m|对于x∈R都成立，
∴m=0．
∴f（x）=x|x|．
∵对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．
∴（1+a）²-1≤2，
化为a²+2a-2≤0，a＞0，
0＜a＜

3

-1，
∴实数a的取值范围是：(0，

3

-1]．
故答案为：(0，

3

-1]．

点评：本题考查了函数奇偶性、二次函数的单调性、含绝对值函数的性质，属于难题．