Question

已知

a

=（sinx，-cosx），

b

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若θ∈（0，

π

2

），且f（θ）-cos2θ=-

3

2

，求cos（θ+

3π

8

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，于是可求得其最小正周期；
（Ⅱ）θ∈（0，

π

2

）⇒2θ-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)， 

π

2

-2θ∈(-

π

2

，

π

2

)，利用正弦函数的单调性可求得θ=

5

24

π，利用两角和的余弦即可求得cos（θ+

3π

8

）的值．

解答： 满分（14分）．
解：（Ⅰ）由题意得f(x)=sinxcosx-

3

cos2x=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)=sin(2x-

π

3

)-

3

2

，
故 f （x）的最小正周期T=

2π

2

=π． …（6分）
（Ⅱ）若f(θ)-cos2θ=-

3

2

，则sin(2θ-

π

3

)=cos2θ=sin(

π

2

-2θ)，
因为θ∈(0，

π

2

)，所以2θ-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)， 

π

2

-2θ∈(-

π

2

，

π

2

)，
则2θ-

π

3

=

π

2

-2θ或 π-(2θ-

π

3

)=

π

2

-2θ，
解得θ=

5

24

π．
故cos(θ+

3

8

π)=cos

7π

12

=cos(

π

4

+

π

3

)=

2

2

×

1

2

-

2

2

×

3

2

=

2 - 6

4

．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数性质与三角恒等变换、三角计算等基础知识，同时考查平面向量应用及三角运算求解能力，属于中档题．