Question

如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.
（1）证明：为的中点；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.

Answer 1

（1）为的中点；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用面面平行来证明线线平行∥，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出，即为的中点.（2）连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.先表示出和，就可求出，从而.（3）可以有两种方法进行求解.第一种方法，用常规法，作出二面角.在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.第二种方法，建立空间直角坐标系，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为，所以.从而，，所以，.设平面的法向量，再利用向量求出二面角.
（1）证：因为∥，∥,，
所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥.
故与的对应边相互平行，于是.
所以，即为的中点.
（2）解：如图，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.

，
，
所以，
又
所以，
故.
（3）解法1如第（20）题图1，在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.
所以为平面与底面所成二面角的平面角.
因为∥，，所以.
又因为梯形的面积为6，，所以.
于是.
故平面与底面所成二面角的大小为.
解法2如图，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.

设.因为，所以.
从而，，
所以，.
设平面的法向量，
由得，
所以.
又因为平面的法向量，
所以，
故平面与底面所成而面积的大小为.