Question

如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.
当时，证明：直线平面；
是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）由正方体的性质得，当时，证明，由平行于同一条直线的两条直线平行得，根据线面平行的判定定理证明平面；（2）解法1，如图2，连结，证明四边形与四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，证明是平面与平面所成的二面角的平面角，设存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，求出的值；解法2，以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，用向量法求解.
几何法：
（1）证明：如图1，连结，由是正方体，知，
当时，是的中点，又是的中点，所以，
所以，
而平面，且平面，
故平面.
（2）如图2，连结，因为、分别是、的中点，
所以，且，又，，
所以四边形是平行四边形，
故，且，
从而，且，
在和中，因为，，
于是，，所以四边形是等腰梯形，
同理可证四边形是等腰梯形，
分别取、、的中点为、、，连结、，
则，，而，
故是平面与平面所成的二面角的平面角，
若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，
连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，
连结，因为、是、的中点，所以，
在中，，，
，
由得，解得，
故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.
向量法：
以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，

由已知得，
所以，，，
（1）证明：当时，，因为，
所以，即，
而平面，且平面，
故直线平面.
（2）设平面的一个法向量，
由可得，于是取，
同理可得平面的一个法向量为，
若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，
则，
即，解得，
故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.