Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用面面垂直的性质得BC⊥平面A₁ACC₁，则利用线面垂直的性质得A₁A⊥BC，由A₁B⊥C₁C，利用平行线A₁A∥C₁C，则A₁A⊥A₁B，利用线面垂直的判定得A₁A⊥平面A₁BC，则利用线面垂直的性质得A₁A⊥A₁C；第二问，建立空间直角坐标系，得到面上的点的坐标，计算出向量坐标，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算出二面角的余弦值.
（1）因为平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以A₁A⊥BC．
因为A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，所以A₁A⊥A₁B，
所以A₁A⊥平面A₁BC，所以A₁A⊥A₁C．      5分

（2）建立如图所示的坐标系C-xyz．
设AC＝BC＝2，因为A₁A＝A₁C，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(1，0，1)，C(0，0，0)．
＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝(－2，2，0)．
设n₁＝(a，b，c)为面BA₁C的一个法向量，则n₁·＝n₁·＝0，
则，取n₁＝(1，0，－1)．
同理，面A₁CB₁的一个法向量为n₂＝(1，1，－1)．   9分
所以cosán₁，n₂ñ＝＝，
故二面角B-A₁C-B₁的余弦值为．      12分