Question

如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）连结、,因为是菱形的中心，,以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长；.
（2）设平面的法向量为，平面PMC的法向量为，首先利用向量的数量积列方程求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式求出，进而求出二面角的正弦值.
解：

（1）如图，连结，因为菱形，则，且，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因，故
所以
由知，
从而，即
设，则因为，
故即，所以（舍去），即.
（2）由（1）知，,
设平面的法向量为，平面的法向量为
由得故可取
由得故可取
从而法向量的夹角的余弦值为
故所求二面角的正弦值为.