Question

如图，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG;（2）当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）证明线面平行，关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多，宜从中位线性质出发寻找.如取AD中点M，则有又所以平面=平面.本题也可从证面面平行出发，推出线面平行.（2）已知二面角平面角，求线面角，宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系，设出各点的坐标，,,,,设,利用二面角G-EF-D的大小为求出，再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角，关键是正确表示平面的法向量，明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.
试题解析：(1)证明：是的中点时,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.                       (6分)
(2)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设,

,,平面的法向量,则有
,解得. .
平面的法向量,依题意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,则有
,解得. .
与平面所成角为,则有,
故有.                        (12分)