Question

在数列{a_n}中，a₁=1，

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设b_n=1+a 2n（n∈N^*），求数列{b_n}的前10项和S₁₀．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设c_n=a_n+1，将递推公式转化为与c_n相关的式子，进而求出数列的通向公式．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用等比数列求和公式即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）设c_n=a_n+1，则数列{

1

cn

}是一个等差数列，
又

1

c1

=

1

2

，d=

1

2

．
∴

1

cn

=

1

2

+(n-1)

1

2

=

n

2

，
∴c_n=

2

n

∴a_n=c_n-1=

2

n

-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+a2n=

2

2n

=

1

2n-1

，
∴S₁₀=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

29

=2[1-(

1

2

)10]=2-(

1

2

)9=

1023

512

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求数列通项，以及等比数列的求和，属于中档题．