Question

19．已知$\frac{π}{2}$≤β≤α≤$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin2α，cos2β的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β），再利用两角差的三角公式求得sin2α=sin[（α+β）+（α-β]和cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值．

解答 解：∵已知$\frac{π}{2}$≤β≤α≤$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴α-β为锐角，α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$•$\frac{12}{13}$+（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{5}{13}$=-$\frac{56}{65}$，
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=-$\frac{4}{5}$•$\frac{12}{13}$+（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{5}{13}$=-$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．