Question

14．F为双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e．

解答 解：不妨设F为右焦点，△OPF（O为坐标原点）为等边三角形，
故点P横坐标为$\frac{c}{2}$，∴点P到右准线的距离d=$\frac{c}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{2c}$，△OPF边长为c，
∴e=$\frac{c}{d}$=$\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}-2}$
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线的定义、简单性质和标准方程的应用，等边三角形的性质，属于基础题．