Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＜b＜c），已知2acosC+2ccosA=a+c．
（1）若3c=5a，求$\frac{sinA}{sinB}$的值；
（2）若2csinA-$\sqrt{3}$a=0，且c-a=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理即可求出$\frac{sinA}{sinB}$的值
（2）由2csinA-$\sqrt{3}$a=0可以求出C的大小，再根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）∵2acosC+2ccosA=a+c，
由正弦定理：2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC，
∴sinA+sinC=2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB，
∵3c=5a，
由正弦定理：3sinC=5sinA，
∴$2sinB=sinA+sinC=\frac{8}{3}sinA$，
∴$\frac{sinA}{sinB}=\frac{3}{4}$．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）由$2csinA-\sqrt{3}a=0$得：$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$或$C=\frac{2π}{3}$
当$C=\frac{π}{3}$时，
∵a＜b＜c，
∴A＜B＜C，此时A+B+C＜π，舍去，
∴$C=\frac{2π}{3}$，
由（1）可知：a+c=2b，
又∵c-a=8，
∴b=a+4，c=a+8，
∴${（a+8）^2}={a^2}+{（a+4）^2}-2a•（a+4）cos\frac{2π}{3}$，
∴a=6或a=-4（舍）                                        
所以$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×10×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=15\sqrt{3}$

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．